Дискретные распределения (Alatissa эксперт по теории вероятности)

Боже, храни Alatiss'у!

<...> я продолжу.

Из книги Алиса в стране математики:
......







Алиса здесь задалась целью найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Числовая последовательность b₁, b₂, b₃, b₄ ....
каждый член которой равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической прогрессией.
Число q называется знаменателем прогрессии.Если знаменатель |q|<1, то такая последовательность называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией

Сумма вычисляется по формуле 
S_∞ = b₁ / 1-q

в данном примере 
S_∞ = 1

Этот отрывок из книги я взяла не просто так)
есть связь с геометрическим распределением вероятностей

p₁ = p
p₂ = qp
p₃ = qqp = q²p
p₄ = qqqp = q³p
p₅ = qqqqp = q⁴p
p₆ = qqqqqp = q⁵p
p₇ = qqqqqqp = q⁶p
....
p_n = q^n-1p

В данном случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом р и основанием q 

Тогда сумма такой прогрессии
S_∞ = p / 1-q = p / p = 1

р₁ + р₂ + р₃ + ...+ р_n = 1  это полная группа

mous пишет:

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Вот такой  момент.
Игрок будет увеличивать ставку в два раза при проигрыше.
играет четыре спина. 
Можно вычислить, повлияют ли такие ставки на математическое ожидание.

Т.е ставит 5$, при проигрыше первого 10$
если проигрыш и первого, и второго ставка 20$
после третьего проигрыша 40$

Фин результат (одного спина) в случае выигрыша:
в первом  31$
во втором 62$
в третьем 124$
в четвертом 248$ 

Группа событий через геометрическре распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp + qqqq

Полная группа событий:
p + qp + q²p + q³p + q⁴

Тогда математическое ожидание
МО = фин.рез. / оборот

Фин. результат = р* 31 + qp * (-5 +62) + q²p* (-5 -10+ 124) + q³p* (-5 -10 -20 + 248) + q⁴ * (-5 -10 -20 -40) =
5/37* 31 + 32/37 * 5/37 * 57 + (32/37)² * 5/37 * 109 + (32/37)³ * 5/37 * 213 + (32/37)⁴ * (-75) =
- 1,47256559...

Оборот = p * 5 + qp * (5+ 10) + q²p * (5 + 10 + 20) + q³p * (5 + 10 + 20 +40) + q⁴ * (5 + 10 + 20 + 40) =
5/37 * 5 + 32/37 * 5/37 * 15 + (32/37)² * 5/37 * 35 + (32/37)³ * 5/37 * 75 + (32/37)⁴ * 75 = 54,48492685527..

Мат. ожидание = - 1,47256559 / 54,48492685527 = - 0,027027...

Как видите, увеличение ставок не повлияло на математическое ожидание.

 

Следующая стратегия - это выжидание точки входа в игру

2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?

...

Группа событий через геометрическое распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp
qqqqp
qqqqqp
qqqqqqp
qqqqqqqp
qqqqqqqqp
qqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqqqp + qqqqqqqqqqqqqq

Полная группа событий
p + qp + q²p + q³p + q⁴p + q⁵p + q⁶p + q⁷p + q⁸p + q⁹p + q¹⁰p + q¹¹p + q¹²p + q¹³p +q¹⁴ 

По ставкам:

Игрок  виртуально  будет ставить каждый спин 0$ до тех пор, пока не будет десять проигрышей подряд.
Далее он сделает ставку 5$, если проигрыш еще 5$, если проигрыш  еще 5$, после тринадцати проигрышей подряд он либо выиграет, либо проиграет, но его 20$, выделенные на сессию закончатся.

Мат. ожидание = фин результат / оборот

Фин результат = p * 0 + qp *0  + q²p*0 + q³p * 0 + q⁴p * 0+ q⁵p * 0 + q⁶p * 0  + q⁷p * 0 + q⁸p * 0 + q⁹p * 0 + q¹⁰p * 31 + q¹¹p (-5 + 31) + q¹²p * ( -5 -5 + 31)  + q¹³p * ( -5 -5 -5 +31)  + q¹⁴ * (-5 -5 -5 -5) =
= q¹⁰p * 31  + q¹¹p  * 26 + q¹²p * 21 + q¹³p *  16 + q¹⁴ * (-20) =
= (32/37)¹⁰ * 5/37 * 31 + (32/37)¹¹ * 5/37 * 26 + (32/37) ¹² * 5/37 * 21 + (32/37)¹³ * 5/37 * 16 + (32/37)¹⁴ * (-20) = - 0,10314244922...

Оборот = q¹⁰p * 5   + q¹¹p  * (5 + 5)  + q¹²p * (5 + 5 +5)  + q¹³p *  (5+ 5 + 5 +5) + q¹⁴ * (5 + 5 + 5 +5) =
= (32/37)¹⁰ * 5/37 * 5 + (32/37)¹¹ * 5/37 * 10 + (32/37) ¹² * 5/37 * 15 + (32/37)¹³ * 5/37 * 20 + (32/37)¹⁴ * 20 =
= 3,81627062114...

Мат ожидание = - 0,10314244922 / 3,81627062114 = - 0,027027...

Как видите,  длительное выжидание точки входа в игру (после проигрышей подряд) не влияет на мат ожидание.

Интуитивно кажется, что чем был больший loss для выбранной ставки, тем больше оснований что она реализуется на текущем спине. С вероятностью 1/37 никто не спорит, но шансы что ставка сработает кажутся выше.