Дискретные распределения (Alatissa эксперт по теории вероятности)

Вероятность выпадения любого номера на европейской рулетке P=1/37.

С этим ни у кого трудностей нет. А копнуть глубже и ответы становятся совсем разные.

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Неужели во всех 3-х случаях у меня будет один и тот же ответ? Какой?
Очевидно, что шанс на успех разный и это не ошибка игрока.


  

+1
Mira получает оценку своего комментария в этой теме от читателя 100pravda.com/127-roulette/teoriya-veroyatnosti блога Casino Mining Pool (CMP) про онлайн казино, программы и стратегии выигрыша

Из уважения к читателям темы я продолжу.

Mira пишет:

Хотелось бы накидать разноплановых задачек по рулетке с решениями.

Shpilevoy пишет:

кое-что в голове упорно не укладывается.... но с твоей помощью обязательно уложиться )))

Coin пишет:

... и мы продолжим получать твой личный свет знаний. 

mous пишет:

Неужели во всех 3-х случаях у меня будет один и тот же ответ? Какой?

mous пишет:

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Да, один и тот же ответ 
Каждый спин p=5/37

Здесь я хотела бы развернуто ответить на такой вопрос, влияет ли история предыдущих выпадений на мат. ожидание.
mous предлагает рассмотреть три случая, можно сказать три стратегии. 
Для каждого случая я найду мат. ожидание. 

Начну с первого.

р= 5/37 каждый спин, 
противоположное событие общепринято записывать через "кью" 
q= 1-р = 1- 5/37 = 32/37

Найти математическое ожидание можно двумя способами: 
через биномиальное распределение и через геометрическое.
Начну с биномиального.
Игрок распределяет 20$ на 4 спина по 5$ на каждый.
Комбинации, которые ему могут встретиться:

Ни разу не сыграют соседи "13" номера:
qqqq
Только один раз: 
pqqq
qpqq
qqpq
qqqp
Два раза:
ppqq
qppq
qqpp
qpqp
pqpq
pqqp
Три раза:
qppp
pppq
pqpp
ppqp
Четыре раза:
pppp

Если все эти комбинации просуммировать, то получится полная группа событий, которая равна единице.
Чтобы эти записи выглядели более сжато, используется биномиальный коэффициент
N!/ k! (N-k)!, где N - количество спинов на нужном интервале, к - количество успешных выпадений.
тогда получается так
ни разу         4! / 0! (4-0)! =1
один раз       4! / 1! (4-1)! =4
два раза       4! / 2! (4-2)! =6
три раза        4! / 3! (4-3)! =4
четыре раза  4! / 4! (4-4)! =1

Биномиальный коэффициент обозначает, например,
два раза       4! / 2! (4-2)! =6
ppqq
qppq
qqpp
qpqp
pqpq
pqqp

Шесть вариантов , когда сектор из 5 номеров сыграет только два раза на интервале 4 спина.

Тогда вся группа будет выглядеть вот так:
 q⁴ + 4*q³p +6* q²p² + 4*qp³ + p⁴

Когда вся группа собрана, можно приступать к математическому ожиданию.

МО= фин результат/оборот(сумма ставок)

Фин результат на одном спине: (-5    проигрыш, +31 выигрыш)

тогда для группы
фин.рез. = q⁴* (-20) + 4* q³p* 16 + 6*q²p²* 52 + 4* qp³ * 88 + p⁴ * 124 =
=(32/37)⁴ *(-20) +4* (32/37)³ * 5/37 * 16 + 6* (32/37)²* (5/37)² *52 + 4* 32/37* (5/37)³* 88 + (5/37)⁴ * 124 = -0,54054..
 
оборот =  q⁴* 20 + 4* q³p* 20 + 6*q²p²* 20 + 4* qp³ * 20 + p⁴ * 20 =
=(32/37)⁴ * 20 +4* (32/37)³ * 5/37 * 20 + 6* (32/37)²* (5/37)² * 20 + 4* 32/37* (5/37)³* 20 + (5/37)⁴ * 20 = 20

Тогда МО = фин.рез./ оборот = -0,54054 / 20 = - 0,027027...

Второй вариант, как можно посчитать мо, - это через геометрическое распределение. 

Игрок распределяет 20$ на 4 спина по 5$ на каждый.
Тогда группа событий через геометрическре распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp + qqqq

Т.е игрок может выиграть сразу же, когда сыграет нужный сектор,
на второй спин, если первый проигрышный,
на третий, если проигрышные и первый, и второй.
На четвертом он после трех проигрышей либо выиграет, либо проиграет, но 20$, выделенных на сессию закончатся.

Полная группа событий:
p + qp + q²p + q³p + q⁴

Тогда математическое ожидание
МО = фин.рез. / оборот

фин. результат = p * 31+ qp* 26 + q²p *21 + q³p * 16+q⁴ *(-20) =
= 5/37 * 31 + 32/37 * 5/37 * 26 + (32/37)² *5/37 * 21 + (32/37)³ *5/37 * 16 + (32/37)⁴ * (-20) = -0,440509..

оборот =  p * 5+ qp* 10 + q²p * 15 + q³p * 20+q⁴ * 20 =
= 5/37 * 5 + 32/37 * 5/37 * 10 + (32/37)² *5/37 * 15 + (32/37)³ *5/37 * 20 + (32/37)⁴ * 20 = 16,298837..

МО = фин. рез. / оборот = - 0,440509 / 16,298837 = - 0,027027...

Т.е. любым вариантом можно посчитать, но результат все равно один и тот же.

Далее, я посчитаю, отразится ли на мат ожидании такое действие со стороны игрока, как удвоение ставки после проигрыша.

И так же найду мат ожидание, когда игрок займется выжиданием точки входа в игру.