Дискретные распределения (Alatissa эксперт по теории вероятности)

Всем привет!
Сказка на ночь

Парадокс двух проигрышных стратегий — это
Парадокс Паррондо
который показывает, что можно выиграть, играя поочерёдно в две заведомо проигрышные игры, если исходы этих игр зависят друг от друга. Это происходит потому, что правильная смена между играми может преобразовать совокупную проигрышную стратегию в выигрышную. 

В 1996 году испанский физик Хуан Паррондо сделал невероятноеоткрытие: иногда две игры, каждая из которых отдельно заканчивается проигрышем, можно объединить в выигрышную стратегию. Этот парадокс — не просто математический курьёз, он имеет научное значение.

Суть парадокса:
Имеется две игры, в каждой из которых вероятность проигрыша выше вероятности выигрыша.
Несмотря на это, можно построить выигрышную стратегию, манипулируя очередностью их применения.

Математическая формулировка парадокса заключается в том, что в двух играх с зависимыми исходами (т.е. исход одной игры влияет на следующую) можно построить выигрышную стратегию путем правильного чередования игр.

Пример (упрощенный):
Игра А: 10% выигрыша, 90% проигрыша.
Игра Б: 20% выигрыша, 80% проигрыша.

Сыграв поочерёдно, например, 100 раз в каждую игру с определённой стратегией, можно получить выигрыш, который был бы невозможен при игре только в одну из них или при использовании более простой (случайной) стратегии.

Еще пример:
Играя в две специально подобранные игры А и Б, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем победы, можно построить выигрышную стратегию, играя в эти игры поочерёдно. То есть, играя в одну игру, в которой на 5 проигрышей выпадает 4 выигрыша, игрок неизбежно проиграет по итогам большого количества розыгрышей. Затем, играя в другую, в которой на 10 проигрышей выпадает 9 выигрышей, игрок также проиграет. Но если чередовать эти игры, например АББАББ и т. п., то общая вероятность выигрыша может оказаться больше вероятности проигрыша.

Условием возникновения парадокса Паррондо является связь между результатами игр А и Б (игры с «капиталом» игрока), либо общий предмет в правилах игры.

Принцип работы:
Парадокс Паррондо работает благодаря тому, что каждая игра имеет не только положительные, но и отрицательные исходы.
Используя хитроумную стратегию чередования игр, можно сделать так, чтобы положительные исходы от одной игры "компенсировали" отрицательные от другой, что в конечном итоге приводит к выигрышу.

 

Появление парадокса

Если вы умны, вы не будете играть против меня ни в игру A, ни в игру B.
В обоих случаях в долгосрочной перспективе вы обязательно проиграете.
Но Паррондо понял, что смешанная стратегия может окупиться: чередуя игры A и B, вы можете в целом выиграть.

Например, если вы всегда играете два раунда игры A, а затем два раунда игры B, вы выиграете в среднем 1,48 цента за раунд. Или, если после каждого раунда A вы играете два раунда B, вы заработаете в среднем 5,8 цента за раунд.

Таким образом, в долгосрочной перспективе вы получите прибыль в обоих случаях.Как обнаружил Паррондо, существует больше комбинаций A и B, которые имеют положительное ожидаемое значение для вас, чем наоборот.

Поэтому вы выходите победителем, даже если вы случайно выбираете, играть ли в A или B в каждом раунде (например, путём подбрасывания честной монеты). В этом случае ваш средний выигрыш составляет 1,47 цента за раунд.Как это возможно? Ключ к парадоксу Паррондо заключается в том, что две игры A и B могут влиять друг на друга, потому что игра B зависит от денег, которые у вас есть в данный момент, а эта сумма колеблется по мере того, как вы играете в игру A. Поэтому A и B больше нельзя рассматривать как независимые игры.

В этом заключается суть парадокса Паррондо. Если бы мы поменяли игру B таким образом, что, например, выбор колеса фортуны зависел бы от значения, выпавшего на грани кубика, парадокс исчез бы, потому что обе игры были бы полностью независимы друг от друга.