Дискретные распределения (Alatissa эксперт по теории вероятности)

to DLK
to Edwerk

Эти две формулы для стандартного отклонения (SD) действительно используются в теории вероятностей и статистике, но они описывают разные ситуации. Давайте разберёмся, как они связаны.

////////////////
Формула 1: 



Эта формула используется для расчёта стандартного отклонения количества спинов до первого успеха в геометрическом распределении. Геометрическое распределение описывает число неудач (или испытаний) до первого успеха в серии независимых событий с вероятностью успеха P.

Контекст формулы 1:

• P — вероятность успеха в одном испытании.
• 1−P=Q  — вероятность неудачи.
• В геометрическом распределении интересует среднее количество попыток до первого успеха, а также разброс (стандартное отклонение) вокруг этого значения.

Пример: Если вероятность выигрыша P=1/37P = 1/37P=1/37 (например, ставка на одно число в рулетке), то:
 
Здесь стандартное отклонение показывает, насколько варьируется количество попыток до первого выигрыша.

////////////////////////////
 Формула 2:

 

Эта формула используется в биномиальном распределении, которое описывает количество успехов (k) в n независимых испытаниях. Если нас интересует, сколько раз произойдёт успех при nnn испытаниях с вероятностью успеха P, то среднее значение (математическое ожидание) равно n⋅P  а стандартное отклонение рассчитывается как:
 
где Q=1−P  — вероятность неудачи.

Контекст формулы 2:

• n — количество испытаний (например, число спинов рулетки)
• P — вероятность успеха в одном испытании (например, вероятность выпадения конкретного числа)
• Q=1−P — вероятность неудачи
• Формула описывает разброс (стандартное отклонение) количества успехов k вокруг среднего значения n⋅P

Пример: Если мы делаем 20 спинов (n=20) и вероятность выигрыша в одном спине P=1/37, то стандартное отклонение выигрышей будет:
 

/////////////////////////////////////////////

Связь между формулами:

Формула 1
 
связана с геометрическим распределением и показывает разброс количества попыток до первого успеха. Её ключевая особенность — она не зависит от числа испытаний nnn, так как в геометрическом распределении рассматривается только первая успешная попытка.

Формула 2
 
связана с биномиальным распределением и показывает разброс количества успехов (k) при фиксированном количестве испытаний (n). Она напрямую зависит от nnn, так как рассматривает совокупный результат всех испытаний.

Обе формулы применяются в зависимости от задачи:

• Если нас интересует количество попыток до первого успеха, используем формулу 1.
• Если нас интересует количество успехов в фиксированном числе попыток, используем формулу 2.