☄ alt2005 раскрывает математику рулетки и отвечает на вопросы

Проверка временного варианта
В этом варианте симулятора вы просто жмете на «Play» (на статичном рисунке ниже это клавиша в состоянии «Сброс»/«Reset», т.к. это скриншоты с анимации) и игра идет до бесконечности, совершая все новые и новые случайные броски монеты и, соответственно, увеличивая или уменьшая текущий баланс игрока.
Вот пример одной игры.



На верхнем графике показана траектория текущего баланса игрока до 65го броска монеты. Как видите, 35 бросков сказочно везло, что позволило на 33м броске довести выигрыш до $2 тыс. Но потом везение кончилось, и к 65у броску баланс устремился к нулю.
Подобный плачевный итог повторился в еще паре десятков игр, сыграных мною на симуляторе.
Вот 4 из них в качестве примера. Игры довольно длинные (количество бросков монеты: 158, 175, 652 и 872), чтобы не вкралось сомнение, будто их плачевный исход — плод недостаточно длинных серий бросков.




Увы. Исход у меня получился всегда один и тот же.
Были взлеты и были падения.
Но, в конечном итоге, мой баланс всегда стремился к 0.
Т.е. игра, в которой каждый ход имеет положительное ожидаемое значение выигрыша, в конечном итоге ведет к абсолютному проигрышу.
Вывод
Проверка на симуляторе подтвердила наш предварительный довольно нелогичный вывод.
В 2х вариантах этой игры получаются кардинально разные результаты.
*Когда много людей играют в игру небольшое количество раз, происходит усреднение по ансамблю, и ожидаемый выигрыш положительный.
*А когда один человек играет в игру много раз, происходит усреднение по времени, и ожидаемый выигрыш отрицательный (то есть неотвратимый проигрыш).

В ансамблевом варианте 1 млн. человек играли по часу в неких параллельных реальностях. В среднем у них получился устойчивый выигрыш. При этом, правда, большинство игроков из параллельных реальностей проиграли. Но зато один или двое из них сорвали большой куш. И этот куш столь велик, что, если сложить его с теми крохами, что остались у большинства, среднее значение выигрыша получится положительным.
Во временном варианте 1 человек играл целый год и проигрался в дым, поскольку у него была всего одна игра и откатить назад во времени (если вдруг проиграл) он не мог.
* Но как же такое может получаться — игра одна, а результаты разные?
Оказывается, ничего удивительного. Просто в данном примере мы столкнулись со случайной системой, являющейся неэргодичной.


Эргодичность
«Нет вероятности без эргодичности»
Нассим Талеб
Мы привыкли, что вероятность, применимая к группе людей (ансамблевая вероятность) и вероятность, применимая к одному человеку (временная) совпадают.
Если вы бросите игральную кость 100 раз, сколько раз выпадет шестерка? Нет сомнений, что где-то в районе 17 раз.
А если попросить 100 человек по разу бросить кость, то сколько шестерок в сумме у них выпадет? И опять нет сомнений, — тоже примерно 17.
Т.е. получается, что в примере с игральной костью среднее по времени и среднее по ансамблю получаются одинаковые, а в примере из предыдущего раздела поста — с бросанием монеты и +50%ным или -40%ным изменением баланса — они разные.
Объяснение этому отличию было предложено еще в 1884 великим австрийским физиком-теоретиком, основателем статистической механики и молекулярно-кинетической теории Людвигом Больцманом.
Он ввел новое понятие — эргодичность для процессов, в которых среднее по ансамблю и среднее по времени совпадают.
Такие процессы были названы эргодическими. Соответственно, процессы, в которых эти 2 средних не совпадают, были названы неэргодическими.
Это слово, являющееся определением важнейшего класса случайных процессов, столь редко в использовании, что Google на запрос «неэргодический» дает всего около 600 ссылок (для сравнения, на запрос «вероятность» выдается 63+ млн. ссылок — в 100 тыс. раз больше). И это соотношение таково, поскольку, на самом деле, лишь 1 человек из примерно 100 тыс. слышал, что бывают неэргодические случайные процессы. А их в реальной жизни пруд пруди, т.к.
сама жизнь по своей природе неэргодична,
— время в жизни необратимо, и каждый из нас живет в единственном варианте реальности, не предлагающем нам иных средних значений, чем среднее по времени.
Если мы, оценивая рискованность (привлекательность) какого-то своего действия (напр. инвестиции или ставки в игре случая), не заморачиваемся с вопросом эргодичности, это грозит нам печальным результатом. Как было показано в предыдущем разделе,
можно полагать ожидаемую доходность игры (или любого иного процесса, где правит бал случай) положительной, тогда как, на самом деле, она отрицательная.
Напомню уже известный вам рисунок.


 

Такое запросто может быть в жизни. Вы полагаете, что у вас будет гарантированный плюс (левый график), а вас ждет непременный минус (правый график).
* Но в чем же коренится столь коварная иллюзия?
* Что заставляет человека столь кардинально лопухнуться с оценкой перспектив, приняв неэргодический процесс за эргодический?
Причин, по большому счету, две.


Первая, — замена временной вероятности на ансамблевую.
В этой простодушной замене при оценке ожидаемой выгоды, среднее по времени просто заменяется на среднее по ансамблю. Это ловкий трюк, многим кажется чрезвычайно полезным, так как ансамбль средних значений, как правило, значительно проще и, главное, гораздо быстрее вычислять по сравнению со средним по времени. Ждать, когда последовательно произойдет множество событий, долго. А как говорил О.Бендер, — время, которое у нас есть, — это деньги, которых у нас нет.
Вот только выходит потом себе дороже. В итоге такой замены для неэргодических процессов (коих в жизни предостаточно) мы обрекаем себя на ошибочную оценку перспектив.


Другая причина — наличие в жизни необратимых последствий.
В результате этого,
для неэргодических процессов наблюдаемая в прошлом вероятность не применима к будущим процессам.
Нассим Талеб называет такие необратимые последствия «гибелью» — попаданием в экстремально поганую ситуацию, не подразумевающую восстановление.
Поясняя это, Нассим Талеб использует такой экстремальный пример, использованный им в качестве базового объяснения в книге «Одураченные случайностью».
Предположим, что шестеро людей играет в русскую рулетку: каждому по выстрелу и приз в $1 млн. долларов.
После шести выстрелов, скорее всего, пять из шести играющих останутся в выигрыше. Если использовать стандартный анализ выгоды и затрат, можно утверждать, что вероятность выигрыша у каждого из игроков составляет 83,33%, а «ожидаемый» средний доход в результате каждого выстрела составит около $833333. Но проблема в том, что при многократной игре в русскую рулетку (более одного прохода по всем стреляющим) кто-то непременно попадет на кладбище. И поэтому, ожидаемый доход… просто не вычисляем.
Этот пример запросто переносится на куда менее экстремальную игру в казино.

На рисунке показана разница между ситуациями, когда:
100 человек идут вечерком развлечься в казино, и кому-то, возможно, не повезет (верхний рисунок);
один человек ходит в казино каждый день в течение 100 дней.
В первом варианте нет никакой зависимости от каких-либо событий в прошлом. И потому привычное понимание вероятности (ансамблевой) здесь вполне применимо. А если кто-то из 100 пришедших проигрывает все, что имел, — это, при расчете средних значений, как бы происходит в одном из «виртуальных вероятностных миров», а во всех остальных «мирах» (где как бы играют другие 99 игроков) все нормально.
Второй вариант совсем иной. В нем вероятность зависит от прошлого. Идя в казино сотый раз человек имеет за плечами 99 предыдущих игровых вечеров. Поэтому:
здесь не только должна применяться другая вероятность — временная, вместо ансамблевой,
но и «гибель» — полный проигрыш человеком всего, что у него есть, — происходит отнюдь не в одном из «виртуальных миров», а в единственно существующем для него мире.
И естественно, что после «гибели» уже нет смысла рассчитывать ожидаемый доход от новых походов в казино, даже если «гибель» случилась в первый же вечер. Этой вероятности просто не существует, поскольку больше походов в казино уже не будет.
Ошибка неразличения 1го и 2го вариантов сохраняется в экономике, психологии и социальных науках с незапамятных времен.
А в наши дни это неразличение разных вероятностей при анализе больших данных (основанном на вероятности больших ансамблей) грозит еще большим масштабом заблуждений и ошибочных решений при:
оценке ситуаций,
выборе вариантов действий,
анализе поведения и пристрастий людей,
прогнозировании сценариев развития событий.
Т.е. по сути, это равносильно жизни людей в некой искаженной реальности, где оценка ими вероятности многих событий просто ошибочна.
Но люди привыкли. Ведь человечество живет в этой искаженной реальности уже около 300 лет, с тех пор, как пути ансамблевой и временной перспектив разошлись.
Как видно из рисунка, за обе перспективы (ансамблевую и временную) топили многие великие умы.
Но в итоге, к концу 2019 мир живет все в той же искаженной реальности, изобилующей старыми парадоксами и новыми ошибками.
Рассмотрим чуть подробней конкретные последствия подобных ошибок.

Цена искаженной реальности
«Экономика так и не состоялась, как наука, поскольку мы должным образом так и не определились с ее основанием. Если в экономике никогда не было Галилея, как же здесь могут появиться Ньютон или Эйнштейн?»
Джеффри Уэст
Вынесенные в эпиграф слова Джеффри Уэста, на мой взгляд, исчерпывающе описывают состояние современной экономики, как науки.
Экономика — это наука.
Но ее уровень сейчас примерно таков, как в физике был до Галилея.
Причина же этого в зыбкости и неопределенности основ этой науки — оценки выгоды и рисков экономической деятельности.
Сегодняшнее управление рисками часто полагается исключительно на инвесторов, определяющих свои предпочтения в отношении риска через функцию полезности без явного учета влияния времени.
Литература по управлению капиталом и управлению рисками в значительной степени использует комбинация средних значений ансамбля и полезность, пренебрегая временем или в лучшем случае инкапсулируя его эффекты в функции полезности. При таком подходе необратимость времени, непоколебимая физическая мотивация воздержания от чрезмерного риска, заменяется произвольно определяемым риском предпочтения. После создания соответствующих академических рамок (примерно с 1970-х годов), нормативные ограничения, которые были в значительной степени основаны на здравом смысле, были постепенно ослаблены.
В итоге, ранние математические методы, разработанные в экономике в 17 и 18 веках, по-прежнему лежат в основе многих проблем, стоящих перед современной теорией экономики. Их нужно менять, исправляя наивные взгляды на случайность.
Новая теория экономики должна учитывать понятие эргодичности, разработанное в 20-м веке и без которого немыслима современная физика.

 

Так почему же это не делается?
Прямолинейный Нассим Талеб винит тупость и упертость экономистов. Более политкорректные специалисты объясняют это мотивацией ключевых акторов, заинтересованных, чтобы ситуация не менялась.
Страховщики заинтересованы продолжать свой немалый бизнес. А при переходе к «эргодической экономике» его можно будет закрывать. Как минимум в том виде, в каком он существует сегодня.
Правительства заинтересованы продолжать балаган с пенсионными системами. А при переходе к «эргодической экономике» они просто накроются медным тазом, в связи с осознанием их ненужности.
Международные эксперты, как и правительства всех стран, заинтересованы продолжать морочить людям голову, измеряя рост благосостояния в стране показателями ВВП и ВВП на душу населения. А при переходе к «эргодической экономике» всем станет понятно, что этот показатель имеет весьма косвенное отношение к росту благосостояния страны, ибо его довольно просто увеличить, сначала выкопав котлован на полстраны, а затем его закопав.
Богатая «элита» заинтересована продолжать объяснять растущее имущественное неравенство всем, чем угодно, но не тем, что иначе быть просто не может при современном устройстве экономики, где правит «закон Матфея». А при переходе к «эргодической экономике» все псевдо-объяснительные уловки вылезут наружу, и потребуются совсем иные методы и механизмы выравнивания экономического неравенства.
Похожая картина с мотивацией ключевых акторов, заинтересованных, чтобы ситуация не менялась, царит в социологии, психологии и прочих науках, создающих теории поведения и деятельности людей в условиях реальной жизни.
Ведь как я уже писал выше.
Жизнь, сама по себе, неэргодична.
Она неповторима и нетиражируема в других вероятностных реальностях, протекая в необратимом потоке времени.
И, что самое интересное, — свойство чувствовать разницу между эргодическими процессами и неэргодическими в вероятностном пространстве жизни, встроено в нас, подобно чувству ориентации в окружающем нас 3х мерном пространстве.
В этом году было доказано — люди интуитивно различают эргодические процессы от неэргодических.
Экспериментальная проверка показала, что, вопреки современной науке, люди отказываются от стратегии линейной оценки полезности, когда сталкиваются с процессами с мультипликативной динамикой (как в примере с монетой, где выигрыш оценивался мультипликативно — в процентах от текущего баланса). При смене динамики процесса с аддитивной (выпал орел — получи $50, выпала решка — отдай $40) на мультипликативную, люди, как показал эксперимент, интуитивно переходят на логарифмическую оценку полезности на (см. рис. ниже).



На этом рисунке показано, что, в зависимости от динамики азартных игр (мультипликативной или аддитивной) люди меняют свою стратегию оценки риска, исходя:
либо из оценки логарифмической полезности — для мультипликативной (красной) динамики игры,
либо из оценки линейной полезности, для аддитивной (синей) динамики игры.
Этот эксперимент убедительно показал, что эволюция встроила в человека верную оценку рисков в плане выгодность/невыгодность. Куда более верную, чем навязывают ему современные экономические теории, заодно объясняя, что он — дурашка и не может по своей природной иррациональности сделать правильный выбор.
* Так чем тогда экономика отличается от религии, если оказывает большее уважение к авторитету, чем к реальности?
Великий Л.Д.Ландау писал, что
науки делятся на естественные, неестественные и противоестественные.
Противоестественные — это те, что убеждают нас в представлениях, не соответствующих реальности.
Так не пора ли, наконец, перевести экономику и прочие науки, не признающие эргодичность в жизни людей, из класса противоестественных в класс неестественных наук, где они заняли бы свое достойное и заслуженное место.
Ведь это возможно. Единственное, что требуется, как пишет в декабрьской редакционной статье журнал Nature Physics, — выйти за рамки привычного «среднего мышления». И, похоже, что время для этого пришло: Time to move beyond average thinking.
И тогда, впервые за 300 лет, наш мир перестанет быть искаженным, а наши модели, наконец, совпадут с реальностью.



Credit: Pasquale Cirillo