Рулетка и Теория вероятности

Тема: Вычисление условных вероятностей
ЗАДАНИЕ. Брошены две игральные кости. Событие А={выпадение шестерки на первой
кости}. Событие В={сумма выпавших очков равна 7}. Являются ли события А и В
независимыми?

РЕШЕНИЕ. Пусть исследуются события






ОТВЕТ. независимы.

И верно. А от Б независимы. Но от чего они зависимы? Определенно от руки бросающего и от соответствующих физических природных процессов. Если перенести это на рулетку, то выпадаемые числа не зависят друг от друга, но зависят от алгоритма (адаптива), который их "бросает". Вместе с тем, выпадаемые числа коррелируют друг с другом, так как зависят от одной и той же величины (адаптива). Следовательно, есть смысл применять авторегрессионный анализ выпадаемых чисел.

Вероятность события - это число случаев благоприятного исхода данного события в сравнении с общим количеством возможных исходов, при условии, что вероятность наступления любого из них абсолютно одинакова.

Вероятность события, основанного на чистой случайности, определяется формулой

P=F/C

где P - степень вероятности, C - общее число возможных вариантов, F - количество благоприятных вариантов.

Теория вероятности разделяет события на:

невероятные (выбросить семь очков, имея одну кость) - вероятность такого события равна нулю;
неизбежные (после броска кости одна из граней будет верхней) - вероятность равна единице;
вероятные (при первом же броске выпадет шестёрка) - вероятность лежит в пределах от нуля до единицы.

Для более сложых расчётов используются правило сложения и правило умножения вероятностей.

Правило сложения

Пусть мы поставили в рулетку с 37 номерами на 15 и 28 и теперь хотим узнать, какова вероятность выигрыша.

Очевидно, что вероятность угадывания одного числа - 1/37, вероятность угадывания другого числа тоже 1/37. Значит, вероятность угадывания одного из двух чисел 1/37+1/37=2/37

Вероятность наступления в некоторой операции какого-либо одного (безразлично какого именно) из результатов равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместимы между собой.

Несовместимы - не могут наблюдаться в одной и той же единичной операции: 15 и 28 не могут выпасть одновременно.

Правило умножения

Так как о вероятности того или иного результата расчета можно говорить лишь при некоторых определенных условиях, то строго говоря, всякая рассчитанная вероятность есть условная вероятность.

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие состоялось.

Например, какова вероятность того, что вытащенные подряд из колоды в 52 листа две карты будут одного достоинства? 1*3/51=3/51 или примерно 0,09. Подробнее: 1, потому что мы вытаскиваем любую начальную карту; 3, потому что в колоде по четыре карты каждого достоинства и одну мы уже вытащили; 51, потому что в колоде после первого вытаскивания осталась 51 карта.

Какова вероятность того, что вытащенные подряд из колоды в 52 листа две карты будут парой валетов или более старших карт? 16/52*3/51=4/221 или примерно 0,02. Подробнее: 16/52, потому что в колоде из 52 листов 16 карт нужного нам достоинства. Затем остается только 3 нужные карты и колода уже из 51 листа.

Теория может определить вероятность тех или иных исходов для игры в казино или лотереи — здесь нет необходимости вращать колесо рулетки или считать лотерейные билеты, чтобы определить характер результата, но в реальной жизни важна относящаяся к делу информация. Беда в том, что мы никогда не обладаем ей в нужном объеме.

Треугольник Паскаля и все предшествующие работы по теории вероятностей отвечали только на один вопрос: какова вероятность того или иного отдельного события. Ответ на этот вопрос в большинстве случаев имеет ограниченную ценность, поскольку чаще всего он мало что дает для оценки ситуации.

Реальные жизненные ситуации часто требуют от нас определения вероятности вполне определенного исхода на пути заключения от частного к общему. В жизни очень редко встречаются задачи, сводящиеся к чистой игре случая, для которых можно определить вероятность исхода до изучения ряда событий — a priori.
В большинстве случаев мы вынуждены определять вероятности на основе имеющихся данных после ряда происшедших событий — a posteriori. Само понятие a posteriori предполагает эксперимент и измерение степени уверенности.

Мы должны предположить, что «при равных условиях наступление (или не наступление) события в будущем будет следовать тем же закономерностям, какие наблюдались в прошлом».

Какие бы данные мы ни отбирали для анализа, прошлое остается лишь фрагментом реальности. Эта фрагментарность играет решающую роль при переходе от ограниченного набора данных к обобщению. Мы никогда не имеем (или не можем позволить себе собрать) всей информации, в которой нуждаемся, чтобы обладать той же уверенностью, с какой без тени сомнения утверждаем, что у игральной кости шесть граней с нанесенными на каждую разными цифрами или что у колеса европейской рулетки 37 лунок.

Реальность представляет собой серию взаимосвязанных событий, зависимых друг от друга, и принципиально отличается от случайных игр, в которых результат каждой отдельной игры не влияет на результат последующей. В случайных играх все сводится к определенным числам, а в реальной жизни мы чаще используем приблизительные оценки — «мало», «много» или «не очень много», а не точные количественные величины.

В мешке лежит 1 белый шар и 2 черных.
Игрок тянет один шар, после чего он возвращается в мешок.

1. Какая вероятность вытянуть белый шар?
2. Какая вероятность вытянуть белый шар хотя бы 1 раз за 2 попытки?
3. Какая вероятность 2 раза вытянуть белый шар за 3 попытки?
4. Какая вероятность вытянуть белый шар 9 раз за 37 попыток?

---

Udachnik

1) 1/3
2)1-(2/3)^2
3)(3!/(2!*(3-2)!)*((1/3)^2*(2/3))
4)(37!/(9!*(37-9)!))*((1/3)^9*(2/3)^28)

В мешке лежит 1 белый шар и 3 черных.
Игрок тянет один шар, после чего он возвращается в мешок.

1. Какая вероятность вытянуть белый шар?
2. Какая вероятность вытянуть белый шар хотя бы 1 раз за 2 попытки?
3. Какая вероятность 2 раза вытянуть белый шар за 3 попытки?
4. Какая вероятность вытянуть белый шар 9 раз за 37 попыток?

---

Аlt

1) 1/4

2) 1-(3/4)^2

3) Всего вариантов за 3 попытки 4^3 = 64
Вариантов где будет 2 раза вытянут белий-белий шар C(2,3) = 3!/(2!*1!) = 3.
Ответ: P = 3/64
А может, и нет Все это лавным-давно просчитано. Так что если я не правильно посчитал - мне ни капли не стыдно

4) Ну ооочень маленькая)))
Всего вариантов 4^37 (даже не берусь представить себе это число)
Вариантов где вытащили 9 раз белый шар C(37,9) = (37*36*...*29)/(9!)
P = (37*36*...*29)/(9! * 4^37)
Вроде так. Если нет, пусть старшие товарищи меня поправят)))