Вопрос Дискретные распределения (Alatissa эксперт по теории вероятности)

Вероятность выпадения любого номера на европейской рулетке P=1/37.

С этим ни у кого трудностей нет. А копнуть глубже и ответы становятся совсем разные.

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Неужели во всех 3-х случаях у меня будет один и тот же ответ? Какой?
Очевидно, что шанс на успех разный и это не ошибка игрока.


  

+1
Mira получает оценку своего комментария в этой теме от читателя 100pravda.com/127-ro...teoriya-veroyatnosti блога Casino Mining Pool (CMP) про онлайн казино, программы и стратегии выигрыша

Из уважения к читателям темы я продолжу.

Mira пишет:

Хотелось бы накидать разноплановых задачек по рулетке с решениями.

Shpilevoy пишет:

кое-что в голове упорно не укладывается.... но с твоей помощью обязательно уложиться )))

Coin пишет:

... и мы продолжим получать твой личный свет знаний. 

mous пишет:

Неужели во всех 3-х случаях у меня будет один и тот же ответ? Какой?

mous пишет:

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Да, один и тот же ответ 
Каждый спин p=5/37

Здесь я хотела бы развернуто ответить на такой вопрос, влияет ли история предыдущих выпадений на мат. ожидание.
mous предлагает рассмотреть три случая, можно сказать три стратегии. 
Для каждого случая я найду мат. ожидание. 

Начну с первого.

р= 5/37 каждый спин, 
противоположное событие общепринято записывать через "кью" 
q= 1-р = 1- 5/37 = 32/37

Найти математическое ожидание можно двумя способами: 
через биномиальное распределение и через геометрическое.
Начну с биномиального.
Игрок распределяет 20$ на 4 спина по 5$ на каждый.
Комбинации, которые ему могут встретиться:

Ни разу не сыграют соседи "13" номера:
qqqq
Только один раз: 
pqqq
qpqq
qqpq
qqqp
Два раза:
ppqq
qppq
qqpp
qpqp
pqpq
pqqp
Три раза:
qppp
pppq
pqpp
ppqp
Четыре раза:
pppp

Если все эти комбинации просуммировать, то получится полная группа событий, которая равна единице.
Чтобы эти записи выглядели более сжато, используется биномиальный коэффициент
N!/ k! (N-k)!, где N - количество спинов на нужном интервале, к - количество успешных выпадений.
тогда получается так
ни разу         4! / 0! (4-0)! =1
один раз       4! / 1! (4-1)! =4
два раза       4! / 2! (4-2)! =6
три раза        4! / 3! (4-3)! =4
четыре раза  4! / 4! (4-4)! =1

Биномиальный коэффициент обозначает, например,
два раза       4! / 2! (4-2)! =6
ppqq
qppq
qqpp
qpqp
pqpq
pqqp

Шесть вариантов , когда сектор из 5 номеров сыграет только два раза на интервале 4 спина.

Тогда вся группа будет выглядеть вот так:
 q⁴ + 4*q³p +6* q²p² + 4*qp³ + p⁴

Когда вся группа собрана, можно приступать к математическому ожиданию.

МО= фин результат/оборот(сумма ставок)

Фин результат на одном спине: (-5    проигрыш, +31 выигрыш)

тогда для группы
фин.рез. = q⁴* (-20) + 4* q³p* 16 + 6*q²p²* 52 + 4* qp³ * 88 + p⁴ * 124 =
=(32/37)⁴ *(-20) +4* (32/37)³ * 5/37 * 16 + 6* (32/37)²* (5/37)² *52 + 4* 32/37* (5/37)³* 88 + (5/37)⁴ * 124 = -0,54054..
 
оборот =  q⁴* 20 + 4* q³p* 20 + 6*q²p²* 20 + 4* qp³ * 20 + p⁴ * 20 =
=(32/37)⁴ * 20 +4* (32/37)³ * 5/37 * 20 + 6* (32/37)²* (5/37)² * 20 + 4* 32/37* (5/37)³* 20 + (5/37)⁴ * 20 = 20

Тогда МО = фин.рез./ оборот = -0,54054 / 20 = - 0,027027...

Второй вариант, как можно посчитать мо, - это через геометрическое распределение. 

Игрок распределяет 20$ на 4 спина по 5$ на каждый.
Тогда группа событий через геометрическре распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp + qqqq

Т.е игрок может выиграть сразу же, когда сыграет нужный сектор,
на второй спин, если первый проигрышный,
на третий, если проигрышные и первый, и второй.
На четвертом он после трех проигрышей либо выиграет, либо проиграет, но 20$, выделенных на сессию закончатся.

Полная группа событий:
p + qp + q²p + q³p + q⁴

Тогда математическое ожидание
МО = фин.рез. / оборот

фин. результат = p * 31+ qp* 26 + q²p *21 + q³p * 16+q⁴ *(-20) =
= 5/37 * 31 + 32/37 * 5/37 * 26 + (32/37)² *5/37 * 21 + (32/37)³ *5/37 * 16 + (32/37)⁴ * (-20) = -0,440509..

оборот =  p * 5+ qp* 10 + q²p * 15 + q³p * 20+q⁴ * 20 =
= 5/37 * 5 + 32/37 * 5/37 * 10 + (32/37)² *5/37 * 15 + (32/37)³ *5/37 * 20 + (32/37)⁴ * 20 = 16,298837..

МО = фин. рез. / оборот = - 0,440509 / 16,298837 = - 0,027027...

Т.е. любым вариантом можно посчитать, но результат все равно один и тот же.

Далее, я посчитаю, отразится ли на мат ожидании такое действие со стороны игрока, как удвоение ставки после проигрыша.

И так же найду мат ожидание, когда игрок займется выжиданием точки входа в игру.

Боже, храни Alatiss'у!

<...> я продолжу.

Из книги Алиса в стране математики:
......







Алиса здесь задалась целью найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Числовая последовательность b₁, b₂, b₃, b₄ ....
каждый член которой равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической прогрессией.
Число q называется знаменателем прогрессии.Если знаменатель |q|<1, то такая последовательность называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией

Сумма вычисляется по формуле 
S_∞ = b₁ / 1-q

в данном примере 
S_∞ = 1

Этот отрывок из книги я взяла не просто так)
есть связь с геометрическим распределением вероятностей

p₁ = p
p₂ = qp
p₃ = qqp = q²p
p₄ = qqqp = q³p
p₅ = qqqqp = q⁴p
p₆ = qqqqqp = q⁵p
p₇ = qqqqqqp = q⁶p
....
p_n = q^n-1p

В данном случае вероятности представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом р и основанием q 

Тогда сумма такой прогрессии
S_∞ = p / 1-q = p / p = 1

р₁ + р₂ + р₃ + ...+ р_n = 1  это полная группа

mous пишет:

Хорошо. У меня 20$ на балансе.
1. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, какая вероятность выигрыша?
2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?
3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Вот такой  момент.
Игрок будет увеличивать ставку в два раза при проигрыше.
играет четыре спина. 
Можно вычислить, повлияют ли такие ставки на математическое ожидание.

Т.е ставит 5$, при проигрыше первого 10$
если проигрыш и первого, и второго ставка 20$
после третьего проигрыша 40$

Фин результат (одного спина) в случае выигрыша:
в первом  31$
во втором 62$
в третьем 124$
в четвертом 248$ 

Группа событий через геометрическре распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp + qqqq

Полная группа событий:
p + qp + q²p + q³p + q⁴

Тогда математическое ожидание
МО = фин.рез. / оборот

Фин. результат = р* 31 + qp * (-5 +62) + q²p* (-5 -10+ 124) + q³p* (-5 -10 -20 + 248) + q⁴ * (-5 -10 -20 -40) =
5/37* 31 + 32/37 * 5/37 * 57 + (32/37)² * 5/37 * 109 + (32/37)³ * 5/37 * 213 + (32/37)⁴ * (-75) =
- 1,47256559...

Оборот = p * 5 + qp * (5+ 10) + q²p * (5 + 10 + 20) + q³p * (5 + 10 + 20 +40) + q⁴ * (5 + 10 + 20 + 40) =
5/37 * 5 + 32/37 * 5/37 * 15 + (32/37)² * 5/37 * 35 + (32/37)³ * 5/37 * 75 + (32/37)⁴ * 75 = 54,48492685527..

Мат. ожидание = - 1,47256559 / 54,48492685527 = - 0,027027...

Как видите, увеличение ставок не повлияло на математическое ожидание.

 

Следующая стратегия - это выжидание точки входа в игру

2. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи не играли 10 ходов подряд, то какая вероятность выигрыша?

...

Группа событий через геометрическое распределение будет выглядеть вот так:
p
qp
qqp
qqqp
qqqqp
qqqqqp
qqqqqqp
qqqqqqqp
qqqqqqqqp
qqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqqp
qqqqqqqqqqqqqp + qqqqqqqqqqqqqq

Полная группа событий
p + qp + q²p + q³p + q⁴p + q⁵p + q⁶p + q⁷p + q⁸p + q⁹p + q¹⁰p + q¹¹p + q¹²p + q¹³p +q¹⁴ 

По ставкам:

Игрок  виртуально  будет ставить каждый спин 0$ до тех пор, пока не будет десять проигрышей подряд.
Далее он сделает ставку 5$, если проигрыш еще 5$, если проигрыш  еще 5$, после тринадцати проигрышей подряд он либо выиграет, либо проиграет, но его 20$, выделенные на сессию закончатся.

Мат. ожидание = фин результат / оборот

Фин результат = p * 0 + qp *0  + q²p*0 + q³p * 0 + q⁴p * 0+ q⁵p * 0 + q⁶p * 0  + q⁷p * 0 + q⁸p * 0 + q⁹p * 0 + q¹⁰p * 31 + q¹¹p (-5 + 31) + q¹²p * ( -5 -5 + 31)  + q¹³p * ( -5 -5 -5 +31)  + q¹⁴ * (-5 -5 -5 -5) =
= q¹⁰p * 31  + q¹¹p  * 26 + q¹²p * 21 + q¹³p *  16 + q¹⁴ * (-20) =
= (32/37)¹⁰ * 5/37 * 31 + (32/37)¹¹ * 5/37 * 26 + (32/37) ¹² * 5/37 * 21 + (32/37)¹³ * 5/37 * 16 + (32/37)¹⁴ * (-20) = - 0,10314244922...

Оборот = q¹⁰p * 5   + q¹¹p  * (5 + 5)  + q¹²p * (5 + 5 +5)  + q¹³p *  (5+ 5 + 5 +5) + q¹⁴ * (5 + 5 + 5 +5) =
= (32/37)¹⁰ * 5/37 * 5 + (32/37)¹¹ * 5/37 * 10 + (32/37) ¹² * 5/37 * 15 + (32/37)¹³ * 5/37 * 20 + (32/37)¹⁴ * 20 =
= 3,81627062114...

Мат ожидание = - 0,10314244922 / 3,81627062114 = - 0,027027...

Как видите,  длительное выжидание точки входа в игру (после проигрышей подряд) не влияет на мат ожидание.

Интуитивно кажется, что чем был больший loss для выбранной ставки, тем больше оснований что она реализуется на текущем спине. С вероятностью 1/37 никто не спорит, но шансы что ставка сработает кажутся выше.

Очень неожиданно считается оборот. Спасибо.

klick пишет: Интуитивно кажется, что чем был больший loss для выбранной ставки, тем больше оснований что она реализуется на текущем спине. С вероятностью 1/37 никто не спорит, но шансы что ставка сработает кажутся выше.

Klick, такие стратегии: ставить после продолжительного невыпадения номера (или группы номеров) появляются из-за желания  сократить дистанцию до следующего угадывания. Но это просто желание. 

В задачке Мауса речь идет о группе 5 номеров (р=5/37)
Если сказать более корректно, то по клас. теорверу с какой бы точки игрок не начал ставить 5 номеров, в половине случаев  (51%) он угадает  за 5 спинов  и не чаще. 
(За 4 спина он угадает в 44% случаев)

Мне осталось рассмотреть еще один вариант

mous пишет:

3. Если я хочу поставить 4 хода подряд в соседей "13" номера по 1$, но перед этим его соседи 3 раза выигрывали в предыдущих 10 спинах, то какая вероятность выигрыша?

Здесь игрок будет входить в игру, если в десятиспиновке выиграют три раза соседи №13

Вариантов таких десятиспиновок большое кол-во
например,
qqqpqqpqpq
qppqqqqpqq
qqqpqpqqpq
и тд и тд

Если точно, то 120 вариантов
По биномиальной формуле 10! / 3! (10-3)! = 120

Далее игрок сделает ставку 5$, если проигрыш снова 5$, если проигрыш еще 5$, на четырнадцатом спине он либо выиграет, либо проиграет, но 20$, выделенных на сессию закончатся.

q⁷p³p
q⁷p³qp
q⁷p³qqp
q⁷p³qqqp + q⁷p³qqq

Все остальные варианты десятиспиновок, 
это когда ни разу не сыграют , только один раз и тд (2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 раз) - не подходят для точки входа. 
Т.е игрок будет делать пропуски ходов, а это равносильно ставке 0$.

Полная группа событий будет выглядеть вот так:

q¹⁰ + 10q⁹p + 45q⁸p² +
+ 120 ( q⁷p⁴ + q⁸p⁴ + q⁹p⁴ + q¹⁰p⁴ + q¹¹p³) +
+ 210q⁶p⁴ + 252q⁵p⁵ + 210q⁴p⁶ + 120q³p⁷ + 45q²p⁸ + 10qp⁹ + p¹⁰ =1

Мат ожидание = фин результат/ оборот

Фин результат = q¹⁰ * 0 + 10q⁹p * 0 + 45q⁸p² * 0 +
+ 120 ( q⁷p⁴ * 31 + q⁸p⁴ * ( -5 +31) + q⁹p⁴  * (-5 -5 +31) + q¹⁰p⁴ * (-5 -5 -5 +31) + q¹¹p³ * (-5 -5 -5 -5))
+ 210q⁶p⁴ *0 + 252q⁵p⁵ * 0 + 210q⁴p⁶  * 0 +120q³p⁷ *0 + 45q²p⁸ * 0+ 10qp⁹ *0 + р¹⁰ *0 =
= 120 ( q⁷p⁴ * 31 + q⁸p⁴ * 26 + q⁹p⁴  * 21 + q¹⁰p⁴ * 16 + q¹¹p³ * (-20)) =
= 120 ((32/37)⁷ * (5/37)⁴ * 31 + (32/37)⁸ * (5/37)⁴ * 26 + (32/37)⁹ * (5/37)⁴ * 21 + (32/37)¹⁰ * (5/37)⁴ * 16 + (32/37)¹¹ * (5/37)³ * (-20)) = - 0,047214866...

Оборот = q¹⁰ * 0 + 10q⁹p * 0 + 45q⁸p² * 0 +
+ 120 ( q⁷p⁴ * 5 + q⁸p⁴ * ( 5 + 5) + q⁹p⁴  * (5+ 5 + 5) + q¹⁰p⁴ * (5 + 5 + 5 + 5) + q¹¹p³ * (5 + 5 + 5 + 5))
+ 210q⁶p⁴ *0 + 252q⁵p⁵ * 0 + 210q⁴p⁶  * 0 +120q³p⁷ *0 + 45q²p⁸ * 0+ 10qp⁹ *0 + р¹⁰ *0 =
= 120 ( q⁷p⁴ * 5 + q⁸p⁴ * 10 + q⁹p⁴  * 15 + q¹⁰p⁴ * 20+ q¹¹p³ * 20) =
= 120 ((32/37)⁷ * (5/37)⁴ * 5 + (32/37)⁸ * (5/37)⁴ * 10 + (32/37)⁹ * (5/37)⁴ * 15 + (32/37)¹⁰ * (5/37)⁴ * 20 + (32/37)¹¹ * (5/37)³ * 20) = 1,7469500596...

Мат ожидание = - 0,047214866 / 1,7469500596 = - 0,027027027...